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§1-3 无穷小量和无穷大量
牛顿-莱布尼茨的微积分中说的“无穷小数”
同我们现在说的“无穷小量”是不同的。当时说的由于理论基础上的缺陷, 所以当时就陷入了没有结果的争论之中。这也是当时像罗尔（Rolle,M. 1652--1719）这样的一些数学家们不接受微积分的原因之一。近代微积分的奠基人柯西从严处理了微积分的基本概念, 并把“无穷小量”说成是极限为，即称变量y为无穷小量，若它在无限变化过程中，总有那么一个时．．．0的变量．．．
刻，在这个时刻以后，能够使绝对值
y小于预先给出的任何正数。例如，
数列
1,n?
?)和当x?0时的函数xn,nsinx,tanx等
都是无穷小量。无穷小量在微积分中起的作用相当于常量数学中的“零”。可是，它不是常量[?(x)?0是一个特例]，所以又不同于“零”。在某个极限过程（n??或x??）中的无穷小量就简记成o(1)[读作“小欧”，不能读作零]。小欧“o”是牛顿当初用过的记号.
定理1-1 limf(x)?C??f(x)?C?o(1)(x??).
x??
(充分必要条件)
特别，
函数f(x)在点c连续??f(x)?f(c)?o(1)(x?c) （※）
证 若limf(x)?C，则lim[f(x)?C]?0，即
x??
x??
f(x)?C?o(1)(x??) 或 f(x)?C?o(1)(x??)
反之，若f(x)?C?o(1)(x??)，则
limf(x)?lim?C?o(1)??C?0?C
x??
x??
特别，当函数f(x)在点c连续时，因为limf(x)?f(c)，所以有结论(※).例如，当x?c
x?c
时，
xn?cn?o(1)， sinx?sinc?o(1)， cosx?cosc?o(1)
1.无穷小量的运算规则 利用极限的运算规则，容易证明无穷小量的下述运算规则：若o(1)是某一个极限过程(n??或x??)中的无穷小量，根据极限的运算规则，则有 ⑴ O?o(1)
o(1)[其中O是有界变量（*），特别它可以是常数]；
⑵ o(1)?o(1)?o(1)，o(1)?o(1)?o(1). 它们与常量的运算规则是不同的！ ．．．．．．．．．．．．．．
2.无穷小量的比较 在某一个极限过程中，把某一个不取0值的无穷小量?看作“基本无穷小量”，而把另一个无穷小量?与基本无穷小量?相比较.若有极限
lim
?
?l(0?|l|???) ?
（*）
记号O读作“大欧”，也不能读作“零”。
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§1-3 无穷小量和无穷大量
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则在这个极限过程中，
⑴当l?0时，称?与?.特别，当l?1时，称?与?记成???或???.例如sinx?x(x?0)，tanx?x(x?0)，因为
sinxtanx
?1,lim?1
x?0xx?0x
⑵当l?0时，?与?相比较，称?为高阶无穷小量，并记成??o(?).例如，当x?0时，
lim
x?o(x),x2?o(x).
?lim例8
x?1x?1
?1?x?1
1?x?1
??
x?1
注意，其中当x?
1时，??定理1-2 设?和??0在某一个极限过程中是等价无穷小量，则在这个极限过程中，
lim(???)?lim(???)（等价无穷小量替换）
[和或差的极限lim(???)不能用等价无穷小量替换！]
证 lim??????lim?
??
?1?lim??????lim?????. ??????????
x2x2
?,sinx2?x2，所以 例如，当x?0时，因为sin22
2
x??x222sin?2?1?cosx2???1 lim2?lim?lim
x?0xsinx2x?0x2sinx2x?0x2?x22
2
2
再如，当x?
1时，因为
8就可以简单地做成
x?1
?x??x?1
??x?1定理1-3 若??0在某一个极限过程中是基本无穷小量，则在这个极限过程中，有高阶无穷小量的运算规则:
⑴ O?o(?)?o(?)（O为有界变量，特别可以是常数）; ⑵ o(1)???o(?)，其中o(1)是无穷小量; ⑶ o(?)?o(?)?o(?)；o(?)?o(?)?o(?). 证明是简单的，譬如证⑶.根据极限的运算规则，因为
2
lim
o(?)?o(?)
?
?lim
o(?)
?
?lim
o(?)
?
?0?0?0
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所以；而因为
lim
所以o(?)?o(?)?o(?2).
o(?)?o(?)
?2
?o(?)o(?)??lim???0?0?0
?????
定理1- 4 若?和??0都是同一个极限过程中的无穷小量，则在这个极限过程中，
?????????o(?) [两个等价无穷小量相差一个高阶无穷小量]
证 (?)因为lim
??
?1，根据定理1-1，?1?o(1)，所以????o(1)????o(?). ??
???o(?)?lim?1?0?1，所以???. ??
例如，因为sinx?x(x?0)，所以可把它等价地写成sinx?x?o(x)(x?0)；同理，tanx?x?o(x)(x?0).
(?)因为lim
3.无穷大量(无穷极限) 称一个变量yy在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值y大于预先给出的任何正数，简记成“y??”. 特别，若能够使y大于预先给出的任何正数，则称变量y为正无穷大量，简记成“y???”；若能够使y小于预先给出的任何负数，则称变量y为负无穷大量，简记成“y???”.
“无穷大量”与“无穷小量”是两个对偶的概念，因此有下面对偶的结论.设变量y在某一个极限过程中不取数值0.
若变量y是无穷大量，则倒数是无穷大量.
具体到函数y?f(x)，当自变量x在某个极限过程x??中，若函数f(x)是无穷大量或正无穷大量或负无穷大量，就依次记成
就是无穷小量；反之，若变量y是无穷小量，则倒数就yy
limf(x)??,
x??
limf(x)???,
x??
limf(x)???
x??
请读者注意，这些都是记号，有时口语上也说“极限是无穷大”，但它们没有前面说的那种有穷极．．．．．
限的含义和运算规则！
a0?a1x???anxn
例9 求lim(an?0,bm?0).
x??b?bx???bxm
01m
解 当n?m时，分子分母同除以xn?xm，则有
a0a1an?1
?????annn?1a0?a1x???anx lim?lim
x??b?bx???bxmx??b0bb01m?m1?1???m?1?bm
mxxx
n
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§1-3 无穷小量和无穷大量
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an?1a1?a?
lim?0?????an?ax??xnxn?1x???n
?
bm?1b1?b?bm
lim?0?????bm?x??xmxm?1x??
当n?m时，分子分母同除以xm，则
a0a1an?1an
?????nmm?1m?n?1m?na0?a1x???anx lim?lim
x??b?bx???bxmx??001m?m1?1???m?1?bm
mxxx
a?1an?a?a0
lim?m?m1?1???mn??x??xxx?n?1xm?n?0???0 ?
bm?1b1bm?b0?
lim?m?m?1????bm?x??xxx??
b0?b1x???bmxm
当n?m时，因为lim?0，所以(倒数的极限)
x??a?ax???axn
01n
a0?a1x???anxn
lim?? x??b?bx???bxm
01m
根据提示做习题
1.求下面的极限（或者用例9的结果直接写出答案，或者像例9那样重新计算）：
4x3?3x2?2x?1? ⑴ lim
x??5x3?7x2?10
3x2?2x?1
? ⑵ lim3
x??4x?3x2?10
6x5?5x3?x?1
? ⑶ lim
x??7x2?8x?9
答案：⑴
4
；⑵0；⑶?. 5
3x?52?3x2?52?2.limsin?????lim???? x??5x?3x??x?5x?3x?
答案：
3.设函数
2
?22?
?sin???xx?
6. 5
1?2
3sinx?xcos?,x?0
f(x)??
?(1?cosx)tanx
x?0?a,
问a为何值时，f(x)在点0连续？
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1
(tanx?x)????? 提示 f(0)?limf(x)?lim
x?0x?0(1?cosx)tanx
3sinx?x2cos
答案：a?
3
. 2
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